Саксофонист, живёт в Израиле. Родился в Киеве в 1974 в семье музыкантов. Отец — джазовый саксофонист, дед был профессором киевской музыкальной академии. С девяти лет под руководством отца и деда Роберт начал играть на кларнете; обучение шло по академическому пути. В 14 лет активно приобщается к джазу посредством участия в биг-бэнде «Планета», где он встречает близких ему по духу гитариста и басиста и создает свой первый квартет. В 1982 году поступает в киевское музыкальное училище, а в 1988 переходит на альт-саксофон, т.к. считает этот инструмент более джазовым и продолжает свое образование именно в джазовом направлении, уже с новым инструментом.

В 1987-м же году состоялось его первое выступление на международном джазовом фестивале «Голосеево-87″ (Киев), в 1988-м гастролирует по всем украинским джазовым фестивалям, ездит в Россию.

1989 — первые гастроли за рубеж: Анчиполовский участвует в польском фестивале «Jazz Jamboree» и встречает своего кумира Фила Вудза (Phil Woods). В 1990 году, на джем-сешне в Москве, Роберт играет с самим Диззи Гиллеспи (Dizzy Gillespie).

1991 — семья Роберта эмигрирует в Израиль. 1992 — Анчиполовский уезжает в Нью-Йорк и берет летний курс у Фила Вудза. 1993 — возвращается в Израиль, сотрудничает с коллективом «Тhe Jan Cloud Jones Trio», в рамках которого исполняет фри и этно-джаз. С трио Роберт записал два альбома и выступал на крупных фестивалях ( «BBC international Jazz Festival», Лондон и «Jazz Festival of Paris»).

1995 — работа в израильском проекте Джона Зорна («Israel project of John Zorn Multi Direction Music»), представление которого состоялось на фестивале Израиля в Иерусалиме. В этом же году Роберт встречает Алека Каца (фо-но) и Дмитрия Гродского (бас), с которыми создает новую группу, по сути. первый собсвтенный коллектив после переезда в Израиль. В этот состав также входит давний друг Анчиполовского, барабанщик Гидон Пейсахов.

Квартет выступает в израильских клубах и на фестивалях. В 1996-2001 Роберт присоединился к биг-бэнду «Hed Big Band» и играл там в качестве лидера саксофонной секции; в 1998 в составе этого биг-бэнда Анчиполовский принимал участие в американском фестивале «Wichita Jazz Festival». В этот же промежуток сотрудничает с «Орфеус Гайтанопоулос Квинтет», «Жан Клод Трио», «Дани Годфрид Квинтет».
1997 — новый квартет под руководством Анчиполовского: Дмитрий Гродский на басу, Игорь Надеждин на фортепиано и Алекс Штайн на ударных. Коллектив записал два диска — «Yardbird Suite» и «Hallucinations»; на втором Алек Кац заменил Игоря Надеждина. Был также альбом, записанный дуэтом с Надеждиным («Alone Together»).

1999 — Роберт создает «Tel-Aviv Acoustic Jazz Quintet». В репертуаре ки\винтета — произведения Чарли Паркера, Фила Вудза, Хораса Силвера и собственные композиции. Работа в квинтете результировалась в 4-х альбомах: «It’s You Or No One», «Tenor Madness», «Live At Beit Lessin», «Short Story». Коллектив неорднократно приглашали выступить по иерусалимскому ТВ.

В 2000 году «Акустический джазовый квинтет Тель-Авива» выступил с легендарным трубачом Валерием Пономаревым (экс-»Jazz Messengers», США) и записал вместе с ним несколько дисков: «A Tribute To Jazz Messengers», «Valery Ponomarev Meets The Tel Aviv Acoustic Jazz Quintet» (Vol.1 и Vol.2). В этом же году квинтет выступил на фестивале «Red Sea Jazz Festival» в эйлате (Израиль).

В конце 2000-го квинтет видоизменился: трубач Мамело Гайтанопоулас заменил Грегори Ривкина. В настоящее время группа представляет собой клубный коллектив, выступающий с различными программами. Часто в репертуаре звучат вещи Майлза Дейвиса, Уэйна Шортера, Херби Хэнкока, Виктора Фельдмана; исполняются и авторские композиции. На сегодняшний момент группа выпустила еще 3 альбома, в которых переосмысливается музыка Майлза Дейвиса.

В 2004 году Роберт Анчиполовский становится лауреатом и обладателем первой премии на престижном конкурсе саксофонистов им. Масимо Урбани в Камерино (Италия) и в качестве приза получает контракт с фирмой грамзаписи Филолоджи Рекордс (Philology Records). Роберт выступает в нескольких итальянских ансамблях, а также имеет престижный ангажемент в оркестре Пиетро Лодице (Италия). Успевает записаться с рядом джазовых звезд и играет со многими выдающимися музыкантами, среди которых — Фил Вудз, Рэнди Брэкер, Бил Чарлоп, Валерий Пономарев, Стив Тюрэ, Уинсент Херринг и многие другие.

В феврале 2006 года Роберт выступил на Тель-Авивском Международном Джазовом Фестивале со своим учителем Филом Вудзом. По приглашению музыкального арт-директор фестиваля «Джаз в саду Эрмитаж» Михаила Грина с 18 — 21 августа — 2006 прошли гастроли Роберта Анчиполовского в России.